Über stetige Abbildungen der Teilmengen euklidischer Räume auf die Kreislinie

TitleÜber stetige Abbildungen der Teilmengen euklidischer Räume auf die Kreislinie
Publication TypeJournal Article
Year of Publication1936
AuthorsBorsuk K, Eilenberg S
JournalFundam. Math., Warszawa,
Volume26
Pagination207-223
AbstractDie Abbildungen eines metrischen Raumes $M$ in die Kreislinie $S_1$ bilden eine abelsche Gruppe $S^M_1$, wenn man $S_1$ als Einheitskreis der komplexen Zahlen auffaßt und die Multiplikation der komplexen Zahlen zur gruppenbildenden Operation macht; die Abbildungen $f(x)$ von der Form $f(x) = e^{i\varphi(x)}$ mit eindeutigen $\varphi(x)$ bilden eine Untergruppe $P (M)$; Gegenstand der Untersuchung ist die Faktorgruppe $S^M_1 /P(M) = \frak B_1(M)$; ihre Elemente sind also diejenigen Klassen von Abbildungen, die entstehen, wenn man zwei Abbildungen $f_1$, $f_2$ als äquivalent betrachtet, falls $f_1 : f_2 = e^{i\varphi(x)}$ ist. (Ist $M$ kompakt, so sind diese Klassen mit den Homotopieklassen identisch, und die Gruppe $\frak B_1 (M)$ ist in diesem Falle eingehend von it Bruschlinsky\/} untersucht worden (Math. Ann. 109 (1934), 525-537; F. d. M. $60_{\text I}$, 531-532).) $B^r$ bezeichne die $r$-te it Betti\/}sche Gruppe (in bezug auf Homologien mit Division); die Hauptergebnisse der Arbeit bestehen in den folgenden beiden Isomorphien, in denen $K$ ein Kompaktum im euklidischen $R^n$ ist: $$ \frak B_1(R^n-K)\approx B^{n-2}(K);\qquad\qquad (2)\quad \frak B_1(K)\approx B^{n-2}(R^n-K). \tag1 $$ Die Isomorphien (1) und (2) werden folgendermaßen gestiftet. Für jede Abbildung $f$ von $R^n - K$ in $S_1$ und jeden Zyklus $z^1$ von $R^n - K$ bezeichne $g(f, z^1)$ den Grad, mit dem $z^1$ abgebildet wird; ferner sei $v(\zeta^{n-2}, z^1)$ die Verschlingungszahl von $z^1$ mit dem Zyklus $\zeta^{n-2}\subset K$; die Abbildung $f$ und der Zyklus $\zeta^{n-2}$ heißen ``parallel'', wenn $g(f, z^1) = v(\zeta^{n-2}, z^1)$ für jeden $z^1$ ist; beim Übergang von $f$ zu einer äquivalenten Abbildung (s. o.) sowie von $\zeta^{n-2}$ zu einem homologen Zyklus bleibt die Parallelität erhalten, sie ist also eine Eigenschaft der Elemente der in (1) auftretenden Gruppen, und diese Beziehung zwischen den Gruppen stiftet den Isomorphismus (1). In ähnlicher Weise wird (2) durch ``starken'' Parallelismus – eine Modifikation des soeben erklärten Begriffes – vermittelt. Einige weitere Ergebnisse und Folgerungen: Sind $\Omega_1$, $\Omega_2$ zwei disjunkte einfach geschlossene Kurven im $R^3$, so ist dann und nur dann $\Omega_1$ ein Retrakt von $R^3 - \Omega_2$, wenn die Verschlingungszahl von $\Omega_1$ und $\Omega_2$ gleich $\pm 1$ ist (daß $\Omega_1$ Retrakt von $R^3 - \Omega_2$ ist, bedeutet: $R^3 -\Omega_2$ läßt sich unter Festhaltung der Punkte von $\Omega_1$ stetig auf $\Omega_1$ abbilden). – Es gibt im $R^3$ Kontinua $C$, für welche $\frak B_1(R^3 -C) = 0$, $\frak B_1(C)\ne 0$, $p^1 (R^3 - C)\ne 0$ ist ($p^1 =$ erste it Betti\/}sche Zahl). – Für lokal zusammenhängende Kontinuen $K$ ist der Rang der Gruppe $\frak B_1$ gleich der ersten it Betti\/}schen Zahl; ist $K\subset R^3$, so ist diese Zahl überdies gleich der ersten it Betti\/}schen Zahl von $R^3 - K$ sowie gleich dem Rang der Gruppe $\frak B_1(R^3 - K)$.