Transformations continues en circonférence et la topologie du plan.

TitleTransformations continues en circonférence et la topologie du plan.
Publication TypeJournal Article
Year of Publication1936
AuthorsEilenberg S
JournalFundam. Math., Warszawa,
Volume26
Pagination61-112
Abstract

Den Inhalt der Arbeit bildet eine systematische Darstellung von ``eindimensionalen Zusammenhangseigenschaften'', die sich durch die einheitliche Methode, beliebige Punktmengen (nicht nur Kompakta) durch ihre stetigen Abbildungen in die Kreislinie $S_1$ zu untersuchen, auszeichnet. In zwei ersten von den drei Teilen der Arbeit werden hauptsächlich die in einer früheren Abhandlung des Verf. (vorangehendes Referat) bewiesenen Resultate wiedergegeben. Von neuen Ergebnissen ist folgender Satz zu erwähnen: Ist $X$ eine lokal zusammenhängende Teilmenge der Kugelfläche $S_2$ und $Y$ eine Konstituante von $S_2 - X$, so gibt es für jeden Punkt $pınøverline Y-Y$ ein $p$ enthaltendes mehrpunktiges Teilkontinuum von $Y + (p)$ (d. h. p ist von $Y$ aus erreichbar). Im Gegensatz zu dem qualitativen Charakter der beiden ersten Teile sind die Untersuchungen des dritten Teiles quantitativ. Im \S\ 1 werden die stetigen Abbildungen von $X$ in $S_1$ auf eine naheliegende Weise als eine abelsche Gruppe $B_1 (X)$ behandelt, wobei homotope Abbildungen als identisch betrachtet werden. Mit $b_1(X)$ wird die Maximalzahl unabhängiger Elemente von $B_1(X)$ bezeichnet, mit $b_0 (X)$ bzw. $b_0'(X)$ die Anzahl der Komponenten bzw. Konstituanten von $X$. – Im \S\ 2 wird bewiesen, daß für jedes $X\subset S_2$ die Ungleichung $b_1(X)\geqq b_0'(S_2 - X) - 1$ gilt. Falls $X$ abgeschlossen ist, gilt $b_1(X) = b_0'(S_2 - X)-1$ (vgl. dazu ıt H. Freudenthal\/}, Compositio math., Groningen, 2 (1935), 134-162 (F. d. M. $61_{\text I}$, 615-618), insbes. S. 162). Dieselbe Gleichheit wird im \S\ 6 auch im Falle, wo $X$ lokal zusammenhängend ist, bewiesen. – Als Analogon zu der bekannten Homologieformel von ıt Mayer-Vietoris-{\v C}ech\/} wird im \S\ 3 eine Formel bewiesen, die für zwei in ihrer Summe abgeschlossene Punktmengen $X_1$ und $X_2$, für welche $b_1(X_1) + b_1(X_2) + b_0(X_1\cdot X_2) < ınfty$ gilt, die Zahl $b_1(X_1+ X_2)$ zu bestimmen erlaubt. – Im \S\ 4 wird gezeigt, wie sich gewisse Sätze von ıt Straszewicz, Kuratowski\/} und ıt Janiszewski\/} über Zerschneidung der Ebene durch die Summe von zwei Kontinuen auf die vom Verf. entwickelte Theorie zurückführen lassen. – Der \S\ 5 enthält eine innere Charakterisierung von gemeinsamen Grenzen von $n$ Teilgebieten von $S_2$. \S\ 6 handelt von lokal zusammenhängenden Mengen. – Der \S\ 7 ist den lokalen Eigenschaften von Kompakten gewidmet. Mit Hilfe der stetigen Abbildungen in $S_1$ wird dort jedem Punkt $x$ eines Kompaktums $X$ eine gewisse ganze Zahlt $l_1(X, x)$ zugeordnet. Falls $X\subset S_2$ ist, wird eine Beziehung (lokaler Dualitätssatz) zwischen $l_1(X,x)$ und den Eigenschaften von $S_2 - X$ im Punkt $x$ bewiesen. Nach einer Bemerkung des Verf. ergibt sich daraus, daß für kompakte Teilmengen $X$ von $S_2$ die Zahl $l_1(X, x)$ mit der eindimensionalen ıt Betti\/}schen Zahl im Sinne von ıt Alexandroff\/} (On local properties of closed sets, Ann. Math., Princeton, (2) 36 (1935), 1-35; F. d. M. $61_{\text{II}}$) übereinstimmt.