Sur les transformations à petites tranches.

TitleSur les transformations à petites tranches.
Publication TypeJournal Article
Year of Publication1938
AuthorsEilenberg S
JournalFundam. Math., Warszawa,
Volume30
Pagination92-95
Abstract

Unter der Voraussetzung, daß $X$ ein Umgebungsretrakt (im Sinne des Ref., Fundam. Math., Warszawa, 19 (1932), 220-242 (F. d. M. $58_{\text{I}}$, 629), insbes. S. 222) ist, wird bewiesen, daß jedem $η > 0$ ein $\varepsilon > 0$ entspricht mit folgender Eigenschaft: Ist $f$ irgend eine stetige Abbildung von $X$ mit $\varepsilon$-Schichten (d. h. derart, daß für jedes $y ın f(X)$ das Urbild $f^{-1}(y)$ einen Durchmesser $< \varepsilon$ hat), so gibt es eine stetige Funktion $\varphi$, die $f(X)$ in $X$ abbildet derart, daß jeder $x ın X$ von $\varphi f(x)$ einen Abstand $< η$ hat. Es folgt daraus, daß jedem absoluten Umgebungsretrakt $X$ ein $\varepsilon > 0$ entspricht von der Art, daß für jede stetige Abbildung $f$ von $X$ mit $\varepsilon$-Schichten eine stetige Abbildung $\varphi$ von $f(X)$ in $X$ existiert mit der Eigenschaft, daß $\varphi f$ zur identischen Abbildung von $X$ auf sich selbst homotop ist. Es wird ferner gezeigt, daß für je zwei Kompakten $X$ und $Y$ die Existenz zweier stetigen Abbildungen $f$ von $X$ in $Y$ und $\varphi$ von $Y$ in $X$ von der Art, daß $\varphi f$ zur identischen Abbildung von $X$ auf sich selbst homotop ist, gewisse Relationen zwischen Homologieeigenschaften von $X$ und $Y$ zur Folge hat. Im Falle, daß $X$ und $Y$ \ $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten sind, erweist sich: (1) $X$ und $Y$ sind beide orientierbar oder nichtorientierbar, (2) die Homologieringe von $X$ und $Y$ sind isomorph, (3) falls $X$ und $Y$ orientierbar sind, so sind ihre Fundamentalgruppen isomorph.