Sur les espaces multicohérents. I.

TitleSur les espaces multicohérents. I.
Publication TypeJournal Article
Year of Publication1936
AuthorsEilenberg S
JournalFundam. Math., Warszawa,
Volume27
Pagination152-190
Abstract

Eine systematische Untersuchung einer neuen numerischen topologischen Invariante $r(X)$, deren ursprüngliche Definition lautet: Ist $X$ ein stetiges Streckenbild, so ist $r(X)$ gleich der oberen Schranke von derartigen Zahlen $k$, daß $X$ eine Zerlegung in zwei Teilkontinuen zuläßt, deren Durchschnitt aus $k + 1$ Komponenten besteht. Das Hauptmittel der Untersuchung bilden stetige Abbildungen auf die Kreislinie. Mit ihrer Hilfe wird vor allem eine für beliebige metrische Räume $X$ geltende (und für Streckenbilder mit der ursprünglichen äquivalente) Definition von $r(X)$ angegeben. Nach Feststellung einiger elementarer Eigenschaften der Zahl $r(X)$, die insbesondere ihr Verhalten bei einer Retrahierung von $X$ wie auch die Beziehung zwischen $r(X)$ und den stetigen Abbildungen von $X$ auf die Torusfläche betreffen, wird folgender bemerkenswerter Satz bewiesen: Sind $X$ und $Y$ zwei Kontinuen, so gilt: $$ r(X \times Y) = \max [r(X), r(Y)]. $$ Es ergibt sich daraus insbesondere, daß die Eigenschaften von $r(X)$ von denen der ersten ıt Betti\/}schen Zahl (die scheinbar mit $r(X)$ nahe verwandt ist) wesentlich abweichen. Es wird ferner gezeigt, daß sich die Invariante $r(X)$ zur Untersuchung von solchen topologischen Phänomenen eignet, die einer Behandlung auf dem Boden der Homologiebegriffe schwerlich zugänglich sind. Und zwar läßt sich eine Art von ``schwacher Verschlingung'' zweier in $R_3$ liegender geschlossener Kurven (oder, genauer, offener Toren) durch den Wert von $r$ für den Außenraum charakterisieren. Falls $X$ ein stetiges Streckenbild ist, wird ferner bewiesen, daß sich $r(X)$ auch als die obere Schranke der eindimensionalen ıt Betti\/}schen Zahlen der eindimensionalen Retrakte von $X$ definieren läßt. Das führt mit Hilfe der ıt Hurewicz\/}schen Theorie der sogenannten asphärischen Räume zu dem wichtigen Ergebnis, daß $r(X)$ eindeutig durch die Fundamentalgruppe von $X$ bestimmt ist. Zum Schluß beschäftigt sich Verf. mit gewissen für jedes $k = 1, 2,łdots$ definierten numerischen Invarianten $r_k(X)$, wobei $r_2(X)$ mit $r(X)$ zusammenfällt. Es werden verschiedene Eigenschaften von $r(X)$ auf diese allgemeineren Invarianten übertragen, und auch eine Beziehung zwischen diesen Zahlen und einer gewissen Homologieinvariante, die ein eindimensionales Korrelat zu dem ıt Lusternik-Schnirelmann\/}schen Begriff der homologischen Kategorie bildet, wird gefunden.